МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА кафедра БІТ Звіт про виконання лабораторної роботи №5 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем» на тему: «МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ»  Мета роботи - ознайомлення з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона. 1.Короткі теоретичні відомості Стандартний метод Ньютона Метод Ньютона базується на лінеаризації задачі і заміні розв'язування нелінійної системи (2) на послідовність розв'язувань лінійних систем (найчастіше прямими методами). Будемо вважати, що система рівнянь (2) має розв'язок; позначимо його через вектор
і розкладемо кожну функцію в ряд Тейлора в околі розв'язку
(2) де
- члени другого і вищих порядків. Вважаючи, що
дуже близьке до
, знехтуємо членами вищих порядків і запишемо систему рівнянь в лінеаризованій формі:
(3) або в іншому вигляді
(4) де
– матриця Якобі (якобіан) системи (1) Враховуючи, що
є розв'язком системи, згідно з (2) можемо записати:
Звідси випливає, що і праву частину (4) також можна прирівняти до нуля:
(5) Розв'язком системи (5) є нове значення вектора X, яке не точно дорівнює значенню вектора
(оскільки знехтували членами другого і вищих порядків). Використовуючи верхні індекси для позначення послідовності ітерацій, можна записати
(6) Звідси
(7) де
- обернена матриця Якобі;
. У достатньо широкому околі розв'язку
ітераційний процес (7) збігається, якщо
. Ітераційний процес закінчується при виконанні умови
(8) де Σ - задана гранична похибка уточнень коренів системи (1). Таким чином, алгоритм стандартного методу Ньютона можна розбити на декілька кроків. Крок 1. Вибір вектора початкових уточнень
. Крок 2. Обчислення елементів матриці Якобі. Крок 3. Обчислення елементів оберненої матриці Якобі. Крок 4. Перемноження значень функції (див. формулу (7))
Крок 5. Одержаний на кроці 4 вектор віднімається від вектора
, у результаті чого одержується покращений вектор розв'язку
. Крок 6. Перевірка умови закінчення ітерацій (8). Якщо вона не виконується, то за вектор початкових уточнень приймається вектор
і проводиться наступна ітерація, починаючи з кроку 2. При використанні стандартного методу Ньютона слід мати на увазі наступне. 1. Стандартний метод Ньютона надзвичайно ефективний. 2. Збіжність на початку ітераційного процесу, як правило, лінійна. 3. Починаючи з деякого кроку ( уточнити його попередньо неможливо), збіжність різко прискорюється і стає квадратичною. 4. Бувають випадки, коли метод розбігається або спостерігається зациклювання ітерацій. Тому необхідно обмежувати максимальну кількість ітерацій деяким попередньо заданим числом. Основний недолік методу полягає в повторних обчисленнях на кожному кроці вектора
, матриці Якобі
, оберненої матриці Якобі
. Тому на практиці досить часто з метою зменшення витрат машинного часу використовують стандартний метод Ньютона без обертання матриці Якобі. Позначаючи
(9) перепишемо (6) у вигляді
(10) Таким чином, задача зводиться до пошуку вектора поправок (приростів)
із системи лінійних алгебраїчних рівнянь (10), у якій матрицею коефіцієнтів при невідомих
є матриця Якобі
, а вектором-стовпцем вільних членів служить вектор значень функції –
. Розв'язуючи цю систему одним із відомих методів (як правило, це представники групи прямих методів – метод Гаусса з вибором головних елементів, метод LU – факторизації та ін.) , знаходимо
. Значення
визначаємо із виразу
(11) Приклад. Уточнити корені системи нелінійних рівнянь
стандартним методом Ньютона без обертання якобіана при початкових наближеннях коренів
. Знайдемо вирази для функцій
за якими будуть визначатись елементи матриці Якобі:

Обчислимо значення функцій та елементів матриці Якобі в точці
:

Розв'яжемо згідно з (10) систему лінійних рівнянь відносно приростів

Уточнені значення коренів визначаються за формулою (11):...